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개인공부/기초 수학

[용어] 아벨군(Abelian Group)

알파카유진정 2025. 1. 3. 17:17

"아벨군"은 수학, 특히 대수학에서 사용되는 용어로, 군론(Group Theory)에서 다루는 중요한 개념 중 하나입니다.

📚 아벨군(Abelian Group)이란?

아벨군은 **교환법칙(Commutative Law)**을 만족하는 군입니다. 즉, 군의 원소들이 교환법칙에 따라 연산될 때 순서에 관계없이 결과가 같아야 합니다.

📐 정의

(G,)가 아벨군이 되기 위한 조건:

  1. 폐쇄성 (Closure): 임의의 두 원소 a,bG에 대해, abG이다.
  2. 결합법칙 (Associativity): 임의의 a,b,cG에 대해, (ab)c=a(bc)이다.
  3. 항등원 (Identity Element): eG가 존재하여 임의의 aG에 대해 ae=ea=a이다.
  4. 역원 (Inverse Element): 임의의 aG에 대해, a1G가 존재하여 aa1=a1a=e이다.
  5. 교환법칙 (Commutativity): 임의의 a,bG에 대해, ab=ba이다.

🔑 예시

  • 정수의 덧셈군 (Z,+): 정수의 집합은 덧셈에 대해 아벨군을 이룹니다.
  • 실수의 덧셈군 (R,+): 실수의 집합도 덧셈에 대해 아벨군입니다.
  • 유리수의 덧셈군 (Q,+): 유리수의 집합 역시 덧셈에 대해 아벨군입니다.