고윳값 분해와 푸리에 변환의 관계

 

혁펜님 강의중에 고윳값 분해는 역푸리에 변환이라는데 약간 오... 읭? 스러워서 바로 강의 때리고 수식 봤습니다.

고윳값 분해와 푸리에 변환의 관계

이 강의: YouTube 강의를 보고, 슬라이드 자료(구글 검색)를 참고하여 정리한 내용입니다.

고윳값 분해와 푸리에 변환의 기본 개념

📘 개념 요약

• 푸리에 변환: 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 변환하는 과정. 복잡한 신호를 단순한 주파수 성분들의 합으로 표현.
• 고윳값 분해: 행렬을 고유벡터와 고윳값으로 분해하여 선형 시스템의 특성을 분석. 행렬의 작용을 더 단순한 형태로 이해할 수 있게 함.
• 두 변환 모두 복잡한 데이터를 더 단순하고 이해하기 쉬운 형태로 분해하는 공통점을 가짐.

고윳값과 푸리에 변환의 연결

공통점

변환	기저	조정 방법	의미
푸리에 변환	\( e^{j\omega t} \)	필터를 적용하여 각 주파수 성분 조정	신호의 각 주파수 성분의 크기와 위상 표현
고윳값 분해	\( v_i \)	고윳값을 곱하여 각 벡터 성분 조정	행렬의 주요 작용 방향과 크기 표현

차이점

• 푸리에 변환:
  • 연속적인 주파수 스펙트럼을 다룸
  • 시간-주파수 도메인 간의 변환에 초점
  • 주기적 신호나 비주기적 신호 모두에 적용 가능
• 고윳값 분해:
  • 이산적인 고유벡터와 고윳값을 다룸
  • 행렬의 특성과 벡터 공간에서의 변환에 초점
  • 주로 정방행렬에 적용되며, 행렬의 대각화에 사용

고윳값 분해와 푸리에 변환의 수식적 연결

고윳값 분해 (Eigen Decomposition)

📘 개념 요약

고윳값 분해는 행렬 \( A \)를 고유벡터 \( q_k \)와 고윳값 \( \lambda_k \)의 조합으로 표현합니다:

\[ A = \sum_k \lambda_k q_k q_k^T \]

• \( \lambda_k \): 고윳값 (행렬 \( A \)가 벡터 \( q_k \)에 미치는 스케일링 효과)
• \( q_k \): 고유벡터 (행렬 \( A \)의 특성을 대표하는 벡터)

푸리에 변환과의 비교

푸리에 변환에서 신호 \( h(t) \)는 주파수 도메인에서 표현될 수 있으며, 이는 고윳값 분해와 구조적으로 유사합니다:

\[ h(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty H(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]

• \( H(\omega) \): 주파수 도메인에서의 성분
• \( e^{j\omega t} \): 주파수 \( \omega \)에서의 기저 함수

유사점

개념	고윳값 분해	푸리에 변환
기저 표현	\( q_k \)	\( e^{j\omega t} \)
조합 방식	\( A = \sum_k \lambda_k q_k q_k^T \)	\( h(t) = \int H(\omega) e^{j\omega t} d\omega \)
조정 변수	\( \lambda_k \)	\( H(\omega) \)

역 푸리에 변환

푸리에 변환에서 주파수 성분을 재조합하여 시간 도메인 신호를 복원하는 것은 고윳값 분해에서 원래 행렬로 복원하는 과정과 유사합니다:

\[ h(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty H(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]

흥미 만땅

결국 고윳값 분해와 푸리에 변환은 데이터 분해와 복원이라는 큰 틀에서 매우 유사하지만, 적용되는 맥락과 수학적 대상이 다르다는 것을 알 수 있습니다!!!!!! 신기방기쓰

수식 쓰기 에바쎄바로 힘드네요 ㅠ