[머신러닝 수학의 바이블] 선형대수학 Part 1 - 벡터와 벡터공간

주요 용어 정리

• 벡터(Vector): 크기와 방향을 가진 수학적 객체
• 기하벡터: 방향과 크기를 가진 화살표로 표현되는 벡터
• 다항식벡터: 다항식의 계수로 구성된 벡터
• $R^n$: n개의 실수로 이루어진 벡터 공간
• 오디오신호: 숫자들의 시퀀스로 표현되며 벡터로 간주될 수 있는 데이터

1. 벡터의 정의와 표현
💡 벡터는 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀있는 객체입니다.

1.1 벡터의 다양한 형태

기하 벡터

• 방향과 크기를 가진 유향 선분으로 표현
• 물리학에서 힘, 속도 등을 표현할 때 사용
• 예시:
• $\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$ (크기: 5, 방향: x축과의 각도)

다항식 벡터

• 다항식의 계수들을 벡터로 표현
• 예시: $p(x) = 2x^2 + 3x + 1$ → $\begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix}$
• 덧셈과 스칼라 곱 연산 가능

오디오 신호

• 시간에 따른 진폭값들의 시퀀스
• 예시: $[0.5, 0.7, -0.2, 0.1]$
• 신호처리에서 중요하게 사용

R^n의 원소

• n개의 실수로 이루어진 튜플
• 컴퓨터에서는 배열로 구현
• 예시: $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$

1.2 벡터의 기본 연산

💡 벡터는 두 가지 기본 연산(덧셈, 스칼라 곱)을 가집니다.

벡터의 덧셈

1. 같은 차원의 벡터끼리만 가능
2. 각 성분별로 덧셈 수행
3. 교환법칙과 결합법칙 성립

예시:
$\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 6 \end{bmatrix}$

스칼라 곱

1. 벡터의 각 성분에 스칼라값을 곱함
2. 벡터의 크기 변경 또는 방향 반전에 사용
3. 분배법칙 성립

예시:
$2\begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \ 8 \end{bmatrix}$

1.3 벡터의 주요 성질

💡 벡터 연산은 다음과 같은 대수적 성질을 만족합니다.

덧셈의 성질

1. 교환법칙: $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
2. 결합법칙: $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
3. 항등원: $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$
4. 역원: $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$

스칼라 곱의 성질

1. 분배법칙: $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$
2. 결합법칙: $(cd)\vec{v} = c(d\vec{v})$
3. 항등원: $1\vec{v} = \vec{v}$

2. 벡터 공간의 기본 개념

2.1 벡터 공간의 정의

💡 벡터 공간은 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀있는 집합입니다.

벡터 공간의 조건

1. 덧셈에 대해 닫혀있음
2. 스칼라 곱에 대해 닫혀있음
3. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙 성립
4. 덧셈의 항등원과 역원 존재
5. 스칼라 곱의 분배법칙과 결합법칙 성립

주요 예시

1. $\mathbb{R}^n$: n차원 실수 벡터 공간
2. 다항식 공간: 모든 다항식의 집합
3. 함수 공간: 특정 조건을 만족하는 함수들의 집합

2.2 부분 공간

💡 부분 공간은 벡터 공간의 부분집합으로서, 그 자체가 벡터 공간입니다.

부분 공간의 조건

1. 영벡터를 포함
2. 덧셈에 대해 닫혀있음
3. 스칼라 곱에 대해 닫혀있음

예시:

• $\mathbb{R}^3$에서의 평면이나 직선
• n차 이하의 다항식들의 집합