[머신러닝 수학의 바이블] 선형대수학 Part 6 - 선형 사상과 이미지/커널

주요 용어 정리

• 선형 사상(Linear Map): 벡터 공간 사이의 구조를 보존하는 함수
• 커널(Kernel): 선형 변환에 의해 영벡터로 매핑되는 벡터들의 집합
• 이미지(Image): 선형 변환에 의해 도달 가능한 벡터들의 집합
• 동형사상(Isomorphism): 두 벡터 공간 사이의 일대일 대응이 되는 선형 사상
• 핵(Null Space): 커널과 동일한 개념, 선형 변환의 해 공간

1. 선형 사상의 이해

1.1 선형 사상의 정의와 성질

💡 선형 사상은 벡터 공간의 기본 구조를 보존하는 함수입니다.

수학적 정의

함수 $T: V \rightarrow W$가 선형 사상이 되기 위한 조건:

1. 가산성: $T(u + v) = T(u) + T(v)$
2. 동차성: $T(cv) = cT(v)$

중요한 성질

1. T(0) = 0 (영벡터 보존)
2. T(au + bv) = aT(u) + bT(v) (선형 결합 보존)
3. ker(T)와 im(T)는 부분공간

1.2 3차원 선형 사상 예시

회전 변환

3차원 공간에서 z축을 중심으로 θ만큼 회전:

⎡cos θ  -sin θ   0⎤
⎢sin θ   cos θ   0⎥
⎣0       0       1⎦

스케일링 변환

각 축 방향으로의 확대/축소:

⎡a  0  0⎤
⎢0  b  0⎥
⎣0  0  c⎦

전단 변환 (Shear)

⎡1  k  0⎤
⎢0  1  0⎥
⎣0  0  1⎦

2. 이미지와 커널의 심층 이해

2.1 커널(Kernel)의 분석

💡 커널은 선형 변환에 의해 "사라지는" 벡터들의 집합입니다.

수학적 정의

$ker(T) = {v \in V | T(v) = 0_W}$

커널의 주요 성질

1. ker(T)는 항상 부분공간
2. T가 단사 ⟺ ker(T) = {0}
3. dim(ker(T)) = nullity(T)

예시: 3차원에서의 커널

T: R³ → R² where T(x,y,z) = (x+y, y+z)

ker(T)를 구하는 과정:
1. T(x,y,z) = (0,0) 방정식 설정
2. x + y = 0
   y + z = 0
3. 해: (-t, t, -t), t ∈ R
4. ker(T) = span{(-1,1,-1)}

2.2 이미지(Image)의 분석

💡 이미지는 선형 변환의 "도달 범위"를 나타냅니다.

수학적 정의

$Im(T) = {w \in W | \exists v \in V : T(v) = w}$

이미지의 주요 성질

1. Im(T)는 항상 부분공간
2. T가 전사 ⟺ Im(T) = W
3. dim(Im(T)) = rank(T)

예시: 3×2 행렬의 이미지

A = ⎡1  2⎤
    ⎢3  4⎥
    ⎣5  6⎦

Im(A) = span{[1,3,5]ᵀ, [2,4,6]ᵀ}

2.3 차원 정리(Rank-Nullity Theorem)

💡 dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

정리의 의미

• 입력 공간의 차원은 커널의 차원과 이미지의 차원의 합과 같음
• 변환에 의해 "사라지는" 차원과 "남는" 차원의 합은 보존됨