[머신러닝 수학의 바이블] 선형대수학 Part 5 - 선형 사상과 기저변환

파트는 사실 제 맘대로 나눴어요

1. 선형 사상(Linear Map)의 이해

1.1 선형 사상의 정의

💡 선형 사상은 벡터 공간 사이의 구조를 보존하는 함수입니다.

정의

$T: V \rightarrow W$가 다음 두 조건을 만족할 때 선형 사상이라 합니다:

1. $T(u + v) = T(u) + T(v)$ (가산성)
2. $T(cv) = cT(v)$ (동차성)

주요 성질

1. T(0) = 0
2. T(au + bv) = aT(u) + bT(v)
3. ker(T)와 im(T)는 부분공간
4. dim(ker T) + dim(im T) = dim V

1.2 선형 사상의 핵심 개념

커널(핵)

💡 커널은 0으로 매핑되는 벡터들의 집합입니다.

ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0}

이미지(상)

💡 이미지는 변환 결과로 나올 수 있는 모든 벡터들의 집합입니다.

im(T) = {w ∈ W | ∃v ∈ V, T(v) = w}

2. 고차원 기저변환

2.1 3차원 기저변환의 예시

💡 3차원 공간에서의 기저변환은 좌표계를 바꾸는 것과 같습니다.

예시 1: 표준기저에서 새로운 기저로

표준기저: e₁ = [1,0,0], e₂ = [0,1,0], e₃ = [0,0,1]
새로운 기저: v₁ = [1,1,0], v₂ = [1,-1,0], v₃ = [0,0,1]

변환행렬 P = [1  1   0]
            [1 -1   0]
            [0  0   1]

예시 2: 회전 기저변환

z축 중심 θ만큼 회전:
P = [cos θ  -sin θ  0]
    [sin θ   cos θ  0]
    [0       0      1]

2.2 4차원 기저변환

💡 4차원 공간의 기저변환은 시공간 좌표계 변환 등에 응용됩니다.

예시: 4차원 회전

4차원 표준기저: 
e₁ = [1,0,0,0], e₂ = [0,1,0,0], 
e₃ = [0,0,1,0], e₄ = [0,0,0,1]

xy평면과 zw평면의 동시 회전:
P = [cos θ  -sin θ   0       0   ]
    [sin θ   cos θ   0       0   ]
    [0       0       cos φ  -sin φ]
    [0       0       sin φ   cos φ]

3. 이미지와 커널의 응용

3.1 이미지 분석

💡 이미지는 선형 사상의 "도달 범위"를 나타냅니다.

이미지의 차원

dim(im T) = rank(A)
- A는 선형 사상의 행렬 표현

성질

1. im(T)는 W의 부분공간
2. T가 단사 ⟺ ker(T) = {0}
3. T가 전사 ⟺ im(T) = W

3.2 커널 분석

💡 커널은 "정보가 소실되는 부분"을 나타냅니다.

커널의 기저 찾기

1. Ax = 0 풀이
2. 일반해 구하기
3. 독립인 벡터들 선택

예시

T([x,y,z]) = [x+y, 2x+2y]의 커널:

연립방정식:
x + y = 0
2x + 2y = 0
z는 자유변수

커널의 기저: [0,0,1]