[용어] 아벨군(Abelian Group)

"아벨군"은 수학, 특히 대수학에서 사용되는 용어로, 군론(Group Theory)에서 다루는 중요한 개념 중 하나입니다.

📚 아벨군(Abelian Group)이란?

아벨군은 **교환법칙(Commutative Law)**을 만족하는 군입니다. 즉, 군의 원소들이 교환법칙에 따라 연산될 때 순서에 관계없이 결과가 같아야 합니다.

📐 정의

군 \((G, *)\)가 아벨군이 되기 위한 조건:

1. 폐쇄성 (Closure): 임의의 두 원소 \(a, b \in G\)에 대해, \(a * b \in G\)이다.
2. 결합법칙 (Associativity): 임의의 \(a, b, c \in G\)에 대해, \((a * b) * c = a * (b * c)\)이다.
3. 항등원 (Identity Element): \(e \in G\)가 존재하여 임의의 \(a \in G\)에 대해 \(a * e = e * a = a\)이다.
4. 역원 (Inverse Element): 임의의 \(a \in G\)에 대해, \(a^{-1} \in G\)가 존재하여 \(a * a^{-1} = a^{-1} * a = e\)이다.
5. 교환법칙 (Commutativity): 임의의 \(a, b \in G\)에 대해, \(a * b = b * a\)이다.

🔑 예시

• 정수의 덧셈군 \((\mathbb{Z}, +)\): 정수의 집합은 덧셈에 대해 아벨군을 이룹니다.
• 실수의 덧셈군 \((\mathbb{R}, +)\): 실수의 집합도 덧셈에 대해 아벨군입니다.
• 유리수의 덧셈군 \((\mathbb{Q}, +)\): 유리수의 집합 역시 덧셈에 대해 아벨군입니다.